에탈 코호몰로지

에탈 위상은 스킴에 부여되는 특별한 그로텐디크 위상이다. 이 위상은 자리스키 위상보다 훨씬 더 섬세한 구조를 가지며, 그 핵심은 에탈 사상을 열린 덮개로 사용하는 데 있다. 에탈 사상은 국소적으로 유한 표시 평탄 사상이며, 기하학적 점에서의 올이 유한하고 분리된 사상으로, 대략적으로 말해 국소적 동형사상의 역할을 한다. 따라서 에탈 위상에서의 '열린 집합'은 스킴으로의 에탈 사상으로 생각한다.

에탈 위상은 자리스키 위상이 갖지 못한 몇 가지 중요한 성질을 만족시킨다. 예를 들어, 아핀 직선 위의 자리스키 위상에서는 두 개의 열린 부분집합이 항상 교집합을 가지지 않을 수 있지만, 에탈 위상에서는 충분히 섬세하기 때문에 두 개의 에탈 덮개가 항상 공통의 세분화를 가진다. 이 성질은 층 이론을 전개하는 데 필수적이며, 에탈 위상을 위상 공간의 일반화인 위상 사이트의 한 예로 만든다.

이렇게 정의된 에탈 위상 위에서 아벨 군 값을 가지는 에탈 층을 정의할 수 있으며, 이 층의 코호몰로지가 바로 에탈 코호몰로지 군이다. 에탈 위상의 섬세함 덕분에, 이 코호몰로지는 특이 코호몰로지와 같은 기대되는 성질들을 많이 공유하게 되며, 순수 대수기하학의 도구로써 강력한 힘을 발휘하는 기초가 된다.

에탈 층은 에탈 위상에서 정의되는 층이다. 에탈 위상은 스킴의 에탈 사상들을 열린 덮개로 간주하는 그로텐디크 위상의 일종이다. 이 위상은 대수다양체의 아핀 열린 부분이 일반적인 위상수학에서의 열린 집합 역할을 하는 자리스키 위상보다 더 섬세한 구조를 제공한다. 에탈 위상에서의 층 이론은 층 코호몰로지의 일반적인 틀 안에서 전개된다.

에탈 층의 중요한 예로는 상수층과 가역층이 있다. 또한, 스킴 위에서 정의된 군 스킴의 에탈 층을 고려할 수 있으며, 이는 갈루아 코호몰로지와 깊은 연관을 가진다. 에탈 위상에서의 층 코호몰로지를 계산하는 것은 자리스키 위상에서보다 훨씬 더 많은 정보를 제공하며, 이는 베유 추측을 해결하는 데 결정적인 도구가 되었다.

에탈 층의 코호몰로지는 ℓ-adic 코호몰로지의 기초를 형성한다. ℓ-adic 코호몰로지는 에탈 층 코호몰로지의 역극한을 통해 정의되며, 대수다양체의 위상적 성질을 연구하는 강력한 방법론이다. 이를 통해 대수기하학과 수론 사이의 깊은 연결을 탐구할 수 있게 되었다.

에탈 코호몰로지 군은 에탈 위상에서 정의된 층 코호몰로지 군이다. 구체적으로, 스킴 X 위의 아벨 군 층 F에 대해, 에탈 코호몰로지 군 H^i_et(X, F)는 에탈 위상에서의 층 코호몰로지로서 정의된다. 이는 층 코호몰로지의 일반적인 이론을 에탈 사이트라는 특수한 그로텐디크 위상에 적용한 결과이다. 이러한 구성은 대수기하학에서 코호몰로지 이론을 제공하는 핵심 도구가 된다.

에탈 코호몰로지 군은 여러 중요한 성질을 가진다. 특히, 계수가 유한인 층에 대해서는 군이 유한하다는 점이 특징이다. 또한, 갈루아 코호몰로지와 밀접한 관계를 가지며, 이 연결을 통해 수론의 문제를 기하학적으로 접근할 수 있는 통로를 제공한다. 진실 사상에 대한 함의성은 이 코호몰로지 이론이 기하학적 대상의 미세한 구조를 잘 반영함을 보여준다.

에탈 코호몰로지의 가장 획기적인 응용은 베유 추측의 증명이다. 피에르 들리뉴는 에탈 코호몰로지를 활용하여 이 추측들을 해결했으며, 이를 위해 ℓ-진 에탈 코호몰로지가 결정적인 역할을 했다. ℓ-진 코호몰로지는 유리수 ℓ-adic 체계로의 극한을 취해 정의되며, 대수적 순환과 같은 기하학적 정보를 코호몰로지 군에 담아낸다.

에탈 코호몰로지는 갈루아 코호몰로지와 밀접하게 연결되어 있다. 이 관계는 대수기하학과 수론을 연결하는 핵심적인 다리 역할을 한다. 구체적으로, 체 위에 정의된 대수다양체의 에탈 코호몰로지 군은 그 체의 절대 갈루아 군에 대한 갈루아 코호몰로지로 해석될 수 있다.

예를 들어, 유한체 위의 대수다양체 X를 생각해 보자. 이때 X의 에탈 코호몰로지 군은 유한체의 절대 갈루아 군, 즉 프로피니트 완비된 정수군의 작용을 받는다. 이 작용을 통해 에탈 코호몰로지는 갈루아 표현의 중요한 원천이 되며, 이는 베유 추측을 갈루아 코호몰로지의 언어로 재해석하고 증명하는 데 결정적인 역할을 했다.

더 일반적으로, 국소체나 대수적 수체 위의 다양체에 대해서도 유사한 관계가 성립한다. 이 연결은 랑글랜즈 프로그램과 같은 현대 수론의 중심 주제에서 에탈 코호몰로지가 핵심적인 도구로 자리 잡게 하는 기반을 제공했다. 즉, 기하학적 객체인 대수다양체의 코호몰로지에서 얻은 정보가 산술적 객체인 갈루아 군의 표현론으로 자연스럽게 전달되는 구조를 에탈 코호몰로지가 구현하는 것이다.

에탈 코호몰로지는 진실 사상에 대해 함의성을 가진다. 이는 대수기하학에서 매우 중요한 성질로, 스킴의 에탈 코호몰로지 군이 진실 사상에 의해 유도된 사상에 의해 제어된다는 것을 의미한다. 구체적으로, 두 스킴 사이의 진실 사상 f: X → Y가 주어졌을 때, Y 위의 적절한 층 F에 대해, 유도된 코호몰로지 사상이 동형 사상이 되는 조건을 제공한다.

이 함의성은 고유 사상과 유한 사상과 같은 진실 사상의 특별한 경우에 대해 구체적인 정리로 나타난다. 예를 들어, 고유 사상에 대해서는 고유 기저 정리가 성립하며, 이는 고유 사상 아래에서 에탈 코호몰로지 군이 보존됨을 보여준다. 이러한 성질은 베유 추측을 증명하는 과정에서, 복소수 위의 다양체의 특이 코호몰로지와 표수 p 위의 다양체의 에탈 코호몰로지를 비교하는 데 결정적으로 사용되었다.

진실 사상에 대한 함의성은 에탈 코호몰로지가 단순한 위상적 도구를 넘어, 스킴의 미세한 기하학적 구조를 반영하는 강력한 불변량임을 보여준다. 이 성질은 산술 기하학에서 다양한 상대적 형태의 문제를 다룰 때 필수적인 도구로 활용된다.

푸앵카레 쌍대성은 에탈 코호몰로지가 매끄러운 다양체 위의 특이 코호몰로지와 유사한 중요한 성질을 가짐을 보여주는 정리이다. 이는 대수기하학에서 다루는 스킴이 위상적 다양체와 유사한 구조를 가질 수 있다는 강력한 증거가 되었다. 구체적으로, 매끄러운 사영 스킴 위에서, 유한한 차원을 갖는 에탈 코호몰로지 군들 사이에 완벽한 쌍대성이 성립함을 의미한다.

이 쌍대성은 차원이 n인 매끄러운 사영 스킴 X와 소수 ℓ에 대해 다음과 같은 형태를 갖는다. 모든 정수 i에 대해, ℓ-진 코호몰로지 군 H^i(X, ℚ_ℓ)와 H^{2n-i}(X, ℚ_ℓ(n)) 사이에 자연스러운 동형사상이 존재한다. 여기서 ℚ_ℓ(n)은 테이트 뒤틂이라고 불리는 층으로, 쌍대성을 올바른 형태로 맞추기 위한 장치이다.

푸앵카레 쌍대성의 증명은 에탈 위상의 국소적 성질과 진실 사상에 대한 함의성을 깊이 활용한다. 이 정리는 에탈 코호몰로지가 단순한 대수적 구조를 넘어 기하학적 정보를 담고 있음을 보여주며, 베유 추측 중 순수성 정리의 증명에 결정적인 토대를 제공했다. 또한, 이 쌍대성은 대수적 순환과 코호몰로지 사이의 관계를 연구하는 데 필수적인 도구로 자리 잡았다.

에탈 코호몰로지는 베유 추측을 증명하는 데 결정적인 역할을 했다. 베유 추측은 유한체 위에 정의된 대수다양체의 점의 개수를 그 다양체의 위상적 성질과 연결짓는 일련의 명제이다. 이 추측을 증명하기 위해서는 대수다양체에 대한 적절한 코호몰로지 이론이 필요했는데, 기존의 특이 코호몰로지는 복소수체와 같은 위상체 위에서만 정의될 뿐, 양의 표수나 유한체와 같은 산술적인 맥락에서는 직접 적용할 수 없었다.

알렉산더 그로텐디크가 도입한 에탈 코호몰로지는 바로 이러한 산술적 상황에서 작동하는 코호몰로지 이론을 제공했다. 에탈 위상은 대수다양체의 '충분히 미세한' 국소 동형사상을 열린 집합으로 삼아 정의되며, 이를 통해 다양체의 기하학적 정보를 포착할 수 있다. 이 코호몰로지는 갈루아 군의 작용을 자연스럽게 가지며, ℓ-진 코호몰로지와 같은 이론의 기초가 된다.

에탈 코호몰로지를 통해, 피에르 들리뉴는 1974년 모든 베유 추측을 최종적으로 증명할 수 있었다. 구체적으로, 에탈 코호몰로지 군의 구조(예: 순도, 레프셰츠 고정점 정리의 유사체)를 분석함으로써, 유한체 위의 점의 개수를 코호몰로지 군의 고유값으로 표현하는 데 성공한 것이다. 이 성과는 대수기하학과 수론을 깊이 연결시키는 계기가 되었으며, 에탈 코호몰로지가 산술 기하학의 핵심 도구로 자리 잡는 데 기여했다.

l-진 코호몰로지는 에탈 코호몰로지의 변형으로, 소수 l에 대한 l-진수 체계를 계수로 사용하는 코호몰로지 이론이다. 이는 주로 대수기하학과 수론, 특히 산술 기하학 분야에서 중요한 도구로 활용된다. 에탈 코호몰로지 자체는 유한체 위의 스킴에 대해 정의되지만, l-진 코호몰로지는 그 계수를 l-진 정수나 l-진수 체로 확장하여 보다 강력한 정보를 추출할 수 있게 한다.

이 이론의 가장 중요한 응용은 베유 추측의 증명에 있다. 피에르 들리뉴는 l-진 코호몰로지를 핵심 도구로 사용하여 1974년에 이 추측들을 완전히 증명했다. 구체적으로, l-진 코호몰로지 군은 유한체 위에서 정의된 비특이 사영 다양체에 대해 잘 정의된 유한 차원의 벡터 공간을 제공하며, 이 공간 위의 프로베니우스 사상의 작용을 연구함으로써 베유 추측에서 요구되는 제타 함수의 유리성과 함수 방정식, 그리고 리만 가설의 유사체를 증명할 수 있었다.

l-진 코호몰로지는 또한 갈루아 표현 이론과 깊이 연관되어 있다. 다양체의 l-진 코호몰로지 군에는 절대 갈루아 군이 자연스럽게 작용하며, 이는 수론에서 중요한 연구 대상이 된다. 이를 통해 모듈러성 정리와 같은 현대 수론의 거대한 정리들을 이해하는 데 기여하기도 했다. 이처럼 l-진 코호몰로지는 순수 대수기하학적 대상에 대한 위상적 정보를 제공할 뿐만 아니라, 그 위에 추가적인 산술 구조를 부여하여 수론적 문제를 기하학적으로 접근할 수 있는 강력한 교량 역할을 한다.

에탈 코호몰로지는 산술 기하학의 핵심 도구로서, 대수다양체의 산술적 성질과 기하학적 성질을 연결하는 데 결정적인 역할을 한다. 이 이론은 수체 위에 정의된 대수다양체를 연구하는 데 필수적이며, 그 다양체의 유리점 분포나 모듈라이 공간의 성질을 이해하는 데 활용된다.

에탈 코호몰로지의 가장 중요한 응용 중 하나는 베유 추측의 증명을 위한 기반을 제공한 것이다. 피에르 들리뉴는 에탈 코호몰로지를 이용해, 유한체 위의 대수다양체에 대한 제타 함수가 유리 함수임을 보이고, 그 함수 방정식과 리만 가설의 유사체를 증명했다. 이 과정에서 핵심적인 역할을 한 것은 l-진 코호몰로지로, 이는 에탈 코호몰로지에 l-진수 계수를 도입하여 구성한 것이다.

산술 기하학에서 에탈 코호몰로지는 구체적인 문제 해결에 널리 사용된다. 예를 들어, 아벨 다양체의 타테 모듈이나 갈루아 표현을 연구하는 데 필수적이다. 또한, 모티브 이론과 L-함수의 해석적 성질을 탐구하는 데 깊이 관여하며, 랑글랜즈 프로그램의 기하학적 측면과도 연결된다. 이를 통해 정수론의 심오한 문제들을 기하학적 언어로 재해석하고 공략할 수 있는 강력한 프레임워크를 제공한다.

에탈 코호몰로지는 대수기하학에서 스킴 위에 정의된 층 코호몰로지 이론이다. 이는 특이 코호몰로지와 밀접한 관계를 가지며, 특히 베유 추측의 증명에 결정적인 역할을 했다.

에탈 코호몰로지는 위상 공간에서의 고전적 특이 코호몰로지와 유사한 성질을 가지도록 설계되었다. 복소수 위의 비특이 사영 다양체의 경우, 에탈 코호몰로지 군은 유한 계수의 특이 코호몰로지 군과 동형이라는 비교 정리가 성립한다. 이 비교 정리는 대수적 다양체의 기하학적 정보(에탈 코호몰로지)와 위상적 정보(특이 코호몰로지)를 연결하는 핵심 다리 역할을 하여, 순전히 대수적 정의로부터 위상적 성질을 이끌어낼 수 있게 했다.

이러한 비교를 통해, 에탈 코호몰로지는 베유 추측에서 요구되는 레프셰츠 고정점 정리의 대수적 유사체를 제공할 수 있었다. 즉, 복소 기하에서의 위상적 도구를 양의 표수나 유한체 위의 대수기하 문제에 적용할 수 있는 강력한 프레임워크를 마련한 것이다.

에탈 코호몰로지는 대수기하학에서 스킴 위에 정의된 층 코호몰로지 이론이다. 이는 특별히 정의된 에탈 위상이라는 그로텐디크 위상에서의 층 코호몰로지로 이해된다. 에탈 위상은 복소수 위의 대수다양체에 대해 표준 위상보다 더 섬세한 구조를 제공하며, 이는 대수적 다양체의 기하학적 성질을 더 잘 포착할 수 있게 해준다.

에탈 코호몰로지의 핵심은 에탈 층의 개념에 있다. 에탈 층은 에탈 위상 위에서 정의된 아벨 군 값을 갖는 층으로, 국소 상수층이나 가역층과 같은 다양한 대수기하학적 대상들을 포함한다. 이 층들에 대한 코호몰로지 군을 계산함으로써, 다양체의 위상적 정보를 갈루아 군의 작용과 같은 산술적 정보와 연결지을 수 있다.

이 이론은 1960년대 알렉산더 그로텐디크에 의해 본격적으로 개발되었으며, 그 주요 동기와 성과는 베유 추측의 증명에 있다. 베유 추측은 유한체 위에서 정의된 대수다양체의 점의 개수에 관한 심오한 예측으로, 에탈 코호몰로지는 이를 l-진 코호몰로지라는 도구를 통해 해결하는 데 결정적인 토대를 제공했다. 이는 수론과 대수기하학을 깊이 통합한 산술 기하학의 출발점이 되었다.

에탈 코호몰로지는 다른 코호몰로지 이론과도 밀접한 관계를 가진다. 예를 들어, 복소수체 위의 비특이 사영 다양체에 대해서는, 에탈 코호몰로지 군이 특이 코호몰로지 군과 동형이 된다는 비교 정리가 성립한다. 또한, 이는 보다 일반적인 층 코호몰로지의 틀 안에 속하며, 크리스탈린 코호몰로지와 같은 다른 산술적 코호몰로지 이론들의 발전에 영감을 주었다.

에탈 코호몰로지와 마찬가지로, 크리스탈린 코호몰로지 역시 대수기하학에서 스킴 위에 정의되는 코호몰로지 이론이다. 이 이론은 알렉산더 그로텐디크에 의해 1960년대에 도입되었으며, 에탈 코호몰로지와 함께 베유 추측을 증명하는 데 결정적인 역할을 했다. 크리스탈린 코호몰로지는 에탈 코호몰로지가 다루기 어려운 양의 표수를 가진 스킴의 기하학적 성질을 연구하는 데 강력한 도구를 제공한다.

크리스탈린 코호몰로지의 핵심 아이디어는 '무한소'의 개념을 체계화하는 것이다. 이 이론은 스킴 위에 정의된 '크리스탈'이라는 특수한 층의 코호몰로지를 계산한다. 이 크리스탈 층은 기본 스킴의 무한소 근방 정보를 인코딩하며, 이를 통해 표수가 양수인 체 위에서도 미분과 같은 개념을 다룰 수 있게 해준다. 이 접근법은 수론과 산술 기하학의 깊은 문제들을 기하학적 언어로 번역하는 데 기여했다.

에탈 코호몰로지와의 주요한 차이점은 정의에 사용되는 위상에 있다. 에탈 코호몰로지가 에탈 위상을 사용하는 반면, 크리스탈린 코호몰로지는 더 미세한 크리스탈린 위상을 사용하여 정의된다. 이 미세한 위상은 무한소 정보를 더 잘 포착할 수 있게 하지만, 그만큼 이론의 구성이 복잡하고 추상적이라는 특징이 있다. 그럼에도 불구하고, 이 두 코호몰로지 이론은 서로 밀접하게 연결되어 있으며, 특정 조건 하에서 비교 정리를 통해 관계를 규명할 수 있다.

크리스탈린 코호몰로지의 가장 중요한 응용은 베유 추측의 증명 과정에서 나타난다. 이 이론은 ℓ-진 코호몰로지의 이론적 기초를 마련하는 데 기여했으며, 대수적 순환과 같은 기하학적 대상의 연구에 필수적이다. 또한, p-진 해석기하학과 모티브 이론과 같은 현대 산술 기하학의 여러 분야에서 계속해서 중요한 도구로 활용되고 있다.